数学和编程

好些人来信问我，要成为一个好的程序员，数学基础要达到什么样的程度？十八年前，当我成为大学计算机系新生的时候，也为同样的问题所困扰。面对学数学，物理等学科的同学，我感到自卑。经常有人说那些专业的知识更加精华一些，难度更高一些，那些专业的人毕业之后如果做编程工作，水平其实比计算机系毕业的还要高。直到几年前深入研究程序语言之后，对这个问题我才得到了答案和解脱。由于好多编程新手遇到同样的困扰，所以我想在这里把这个问题详细的阐述一下。

数学并不是计算机科学的基础

很多人都盲目的认为，计算机科学是数学的一个分支，数学是计算机科学的基础，数学是更加博大精深的科学。这些人以为只要学会了数学，编程的事情全都不在话下，然而事实却并非如此。

事实其实是这样的：

• 计算机科学其实根本不是数学，它只不过借用了非常少，非常基础的数学，比高中数学还要容易一点。所谓“高等数学”，在计算机科学里面基本用不上。
• 计算机是比数学更加基础的工具，就像纸和笔一样。计算机可以用来解决数学的问题，也可以用来解决不是数学的问题，比如工程的问题，艺术的问题，经济的问题，社会的问题等等。
• 计算机科学是完全独立的学科。学习了数学和物理，并不能代替对计算机科学的学习。你必须针对计算机科学进行学习，才有可能成为好的程序员。
• 数学家所用的语言，比起常见的程序语言（比如C++，Java）来说，其实是非常落后而糟糕的设计。所谓“数学的美感”，其实大部分是夜郎自大。
• 99%的数学家都写不出像样的代码。

数学是异常糟糕的语言

这并不是危言耸听。如果你深入研究过程序语言的理论，就会发现其实数学家们使用的那些符号，只不过是一种非常糟糕的程序语言。数学的理论很多是有用的，然而数学家门用于描述这些理论所用的语言，却是纷繁复杂，缺乏一致性，可组合性（composability），简单性，可用性。这也就是为什么大部分人看到数学就头痛。这不是他们不够聪明，而是数学语言的“设计”有问题。人们学习数学的时候，其实只有少部分时间在思考它的精髓，而大部分时间是在折腾它的语法。

举一个非常简单的例子。如果你说cos²θ表示(cos θ)²，那么理所当然，cos^-1θ就应该表示1/(cos θ)了？可它偏偏不是！别被数学老师们的教条和借口欺骗啦，他们总是告诉你：“你应该记住这些！” 可是你想过吗：“凭什么？” cos²θ表示(cos θ)²，而cos^-1θ，明明是一模一样的形式，表示的却是arccos θ。一个是求幂，一个是调用反函数，风马不及，却写成一个样子。这样的语言设计混淆不堪，却喜欢以“约定俗成”作为借口。

如果你再多看一些数学书，就会发现这只是数学语言几百年累积下来的糟粕的冰山一角。数学书里尽是各种上标下标，带括号的上标下标，x，y，z，a，b，c，f，g，h，各种扭来扭去的希腊字母，希伯来字母…… 斜体，黑体，花体，双影体，……用不同的字体来表示不同的“类型”。很多符号的含义，在不同的子领域里面都不一样。有些人上一门数学课，到最后还没明白那些符号是什么意思。

直到今天，数学家们写书仍然非常不严谨。他们常犯的一个错误是把x²这样的东西叫做“函数”（function）。其实x²根本不是一个函数，它只是一个表达式。你必须同时指明“x是参数”，加上x²，才会成为一个函数。所以正确的函数写法其实看起来像这样：f(x) = x²。或者如果你不想给它一个名字，可以借用lambda calculus的写法，写成：λx.x²。

可是数学家们灰常的喜欢“约定俗成”。他们定了一些不成文的规矩是这样：凡是叫“x”的，都是函数的参数，凡是叫“y”的，都可能是一个函数…… 所以你写x²就可以表示λx.x²，而不需要显式的写出“λx”。殊不知这些约定俗成，看起来貌似可以让你少写几个字，却造成了许许多多的混淆和麻烦。比如，你在Mathematica里面可以对 x²+y 求关于x的导数，而且会得到 y'(x) + 2x 这样蹊跷的结果，因为它认为y可能是一个函数。更奇怪的是，如果你在后面多加一个a，也就是对x²+y+a求导，你会得到 2x！那么 y'(x) 到哪里去了？莫名其妙……

相对而言，程序语言就严谨很多，所有的程序语言都要求你必须指出函数的参数叫什么名字。像x²这样的东西，在程序语言里面不是一个函数（function），而只是一个表达式（expression）。即使 JavaScript 这样毛病众多的语言都是这样。比如，你必须写：

function (x) { return x * x }